Top

Параллельные миры геометрии

Два тысячелетия все великие математики мира бились над неразрешимой проблемой, связанной с пятым постулатом Евклида. Совершенно неожиданное решение этой проблемы было найдено только в середине девятнадцатого века. Сначала три математика почти одновременно и независимо друг от друга открыли новую геометрическую систему, а затем два других математика доказали её непротиворечивость.

Из цикла «Жизнь замечательных идей»

Казань, 1826 год
11 февраля 1826 года в Казанском университете ничего из ряда вон выходящего не происходило. С утра, как обычно, шли лекции и семинары, а после обеда отделение физико-математических наук собралось на свое очередное заседание. Среди прочих тем, внесенных в повестку дня, значилось сообщение декана физико-математического факультета Николая Ивановича Лобачевского.

«Слушано было представление господина ординарного Профессора Лобачевского своего сочинения на французском языке: «Exposition succincte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallêles”, о котором желает он знать мнение членов Отделения…»Из протокола заседания

Сочинение Лобачевского «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» было поручено рассмотреть профессорам Симонову и Купферу, а также адъюнкту Брашману. Брашман отозвался о сочинении очень пренебрежительно, Симонов и Купфер просто промолчали.

Из жизни математиков
Однажды царь Птолемей I Сотер спросил Евклида, есть ли какой-нибудь иной путь познания геометрии, легче того, что изложен в “Началах”. “К геометрии нет царских дорог”, — ответил Птолемею Евклид.

Третий век до нашей эры, Александрия, Египет.
Если верить древнегреческому историку Проклу, великий математик Евклид жил в Александрии во времена царствования Птолемея I Сотера. Свой фундаментальный труд “Элементы” или “Начала” Евклид написал примерно в 300 году до нашей эры. “Начала” — это по одной версии тринадцать, а по другой пятнадцать книг, построенных по единой логической схеме.

В первой книге “Начал” Евклид сформулировал 5 постулатов:
Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
Прямая продолжается бесконечно.
Из любого центра можно провести окружность любым радиусом.
Все прямые углы равны между собой.
Пятый постулат формулировался гораздо сложнее. Через одну точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельную данной.
Этот постулат стал своеобразным философским камнем геометрии Евклида.

Две тысячи лет математики всего мира, не допуская и мысли о существовании какой-то другой геометрической системы, тем не менее, “покушались” на пятый постулат. Его пытались “поправить”, заменить, вывести из аксиом и постулатов, то есть, доказать как теорему – все тщетно.
Молодой казанский математик Лобачевский, конечно же, не смог пройти мимо этой математической загадки. Но очень скоро понял бесцельность и бесперспективность своих попыток.

“Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать…” Из записок Лобачевского

В 1822 году тридцатилетний экстраординарный профессор Казанского университета приступил к разработке новой геометрической системы…

Лобачевский будет работать над созданием новой геометрической системы еще много лет. Но все основные положения своей новой геометрии он сформулирует уже в 1826 году.

Из жизни математиков
Однажды студент Лобачевский привел во двор университета корову, оседлал ее и стал потешать однокурсников, изображая цирковую вольтижировку. Вдруг все разом смолкли, увидев, что на крыльцо университета вышел ректор. Но студент Лобачевский ректора не заметил и продолжал скакать на корове. Его успехи в верховой езде, конечно же, были отмечены: “А студенту Лобачевскому, занимающему первое место по худому поведению, объявить о том, что он отличные свои способности помрачает несоответствующим поведением”.

Казань, 1807 год
Николай Лобачевский поступил в Казанский университет в 1807 году. Он был казеннокоштным студентом. То есть учился за государственный счет.
Обычно в его официальных биографиях пишут, что детство Лобачевского было тяжелым и нищим. Это не совсем так. Он жил в семье со средним достатком, вполне обеспеченно. Николай и два его брата официально считались воспитанниками землемера капитана Шебаршина.
Когда Сергей Степанович Шебаршин умер, Прасковья Александровна Лобачевская перевезла своих трех сыновей, оставшихся без опекуна, то есть, без кормильца, в Казань, где определила за казенный счет в гимназию. Учились они отлично, подавали большие надежды, все трое поступили потом в Казанский университет.
В то время математику в университете преподавал Иоганн Христиан Мартин Бартельс. В России его звали Мартин Федорович. Когда Бартельс жил в Германии, он был учителем самого великого Карла Гаусса! Так что студенту Коле Лобачевскому очень повезло с преподавателем. А Мартину Федоровичу, в свою очередь, повезло с учеником. Лобачевский был одним из самых любимых его студентов. И самых способных.
Вот только поведение у студента Лобачевского было – хуже некуда. Лобачевскому выносили выговоры, записывали на черную доску, даже сажали в карцер.
Чаще всех за Лобачевского заступался Бартельс. Кстати, только благодаря его заступничеству и поддержке профессоров Броннера и Литтрова, Лобачевский в 1811 году стал магистром. А ведь был вычеркнут из списка за “возмутительные поступки” и “признаки безбожия”.

Первые годы после окончания университета Лобачевский работал ассистентом Бартельса и по его собственной просьбе объяснял студентам то, чего они не поняли из лекций Мартина Федоровича. Еще Лобачевский вел курсы арифметики и геометрии. Чуть позже начал читать лекции по астрономии, опытной физике, механике, гидростатике и гидравлике.
Профессором Николай Иванович Лобачевский стал в 30 лет. А в тридцать четыре был избран ректором Казанского Университета и с головой погрузился… в хозяйственные дела. Обустройство мастерских, лабораторий и обсерватории. Пополнение библиотеки, обновление минералогической коллекции. Стараниями нового ректора при университете были построены клиника, анатомический театр, физический и химический кабинеты.

Из жизни математиков
Во время эпидемии холеры Лобачевский превратил университет в мини-госпиталь и тем самым спас много студентов. Во время большого пожара в Казани, когда было уничтожено большинство домов и построек, Лобачевскому удалось очень быстро организовать спасательные отряды из студентов в помощь пожарникам, в результате отстояли здание университета, не дали погибнуть оборудованию лабораторий. А самые ценные книги из загоревшейся библиотеки ректор Лобачевский выносил собственноручно.

К своей новой геометрии Лобачевский вернулся только в 1829 году. Мемуар “О началах геометрии” он опубликовал в журнале “Казанский вестник” — печатном органе университета. Примерно треть этой работы, как отметил в примечании сам Лобачевский, была извлечена им из рукописи 1826 года. Той самой, обойденной молчанием.
Через три года – в 1832-ом — Лобачевский отправил свой труд в Академию наук. Ответом ему была тишина.
Впрочем, один отзыв все-таки появился. Рецензию на работу Лобачевского написал знаменитый математик Михаил Васильевич Остроградский.

“Все, что я понял в геометрии господина Лобаческого, ниже посредственного. Книга опорочена ошибками…” Из рецензии Остроградского

После такой рецензии на Лобачевского тут же посыпались невежественные насмешки. Свое недоумение высказали коллеги-математики. Вышестоящие лица из попечительского совета задумались о должностном соответствии ректора, проповедующего бредовые идеи. Венцом травли стала анонимная публикация в журнале Булгарина “Сын отечества”.

Как можно подумать, чтобы господин Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю? Если не ученость, то, по крайней мере, здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего”. Из анонимного пасквиля

Лобачевский тяжело переживал критику и непонимание коллег, но не бросил свою «воображаемую геометрию».

Комментарий — доктор физико-математических наук Аркадий Скопенков: «Вызывает уважение то, что с одной стороны, он не использовал высокого административного положения ректора, чтобы издавать собственный журнал и создать собственную научную школу по неевклидовой геометрии до ее международного признания, а с другой стороны, сам продолжал ей заниматься».

История не знает сослагательного наклонения, но попробуем представить, как приняли бы идеи Лобачевского, живи он не на задворках империи, а в одной из столиц. Скорей всего, точно так же. Открытие Лобачевского было преждевременным. И, пожалуй, только два человека в мире смогли бы понять и оценить его труд — Карл Фридрих Гаусс и Янош Бойяи.

Из жизни математиков
Однажды у выдающегося французского математика Пьера-Симона Лапласа спросили: кто, по его мнению, является лучшим математиком в Германии. Лаплас ответил: “Бартельс”. Ему не поверили: “Разве Гаусс хуже?” “О, Гаусс – лучший математик в мире!” — сказал Лаплас.

Гёттинген, 1818 год
Карл Фридрих Гаусс открыл существование иной геометрической системы на восемь лет раньше Лобачевского — в 1818 году.
Гаусс был не просто великим математиком. Он был гением.
В три года Гаусс нашел ошибку в расчетах своего отца – водопроводного мастера. Трехлетнему мальчику, конечно же, никто не поверил. Но потом отец все пересчитал и признал, что сын был прав.
В девятнадцать лет Гаусс самостоятельно освоил все достижения и методы алгебры. К двадцати четырем годам вошел в число самых известных математиков Европы. В 1801 году он разработал теорию возмущений, которая позволила астрономам рассчитать орбиту Цереры, считавшуюся в то время планетой, а затем, спустя сорок пять лет, предсказать открытие планеты Нептун.
В тридцать лет Гаусс уже считался “королем математики”. А в сорок увлекся старой как мир загадкой о параллельных прямых – пятым постулатом Евклида. Очень скоро он догадался, что этот постулат может иметь другую формулировку, но не на плоскости, а на других поверхностях.
В 1818 году Гаусс предположил существование иной геометрической системы. Однако не опубликовал на эту тему ни слова. Только в письмах к своим друзьям он обмолвился, что преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия пятого постулата. А также намекнул, что мог бы развить “антиевклидову” геометрию, но не станет этого делать.

Возможно даже, что я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком”. Карл Фридрих Гаусс, из письма другу.

Комментарий — доктор физико-математических наук Аркадий Скопенков: «У Гаусса были весьма достойные причины не заниматься неевклидовой геометрией, забыв про все остальное. Во-первых, Гаусс считал гораздо более важными для себя другие направления исследований, связанные с практическими приложениями (геодезия, вероятность, магнетизм). Математика 19-го века была гораздо ближе к естествознанию, чем современная… Во-вторых, даже с чисто математической точки зрения в середине 19 века не было ясно, как, развивая неевклидову геометрию, можно решить двухтысячелетнюю математическую проблему о доказуемости Пятого постулата Евклида».

Из жизни математиков
Однажды Карл Фридрих Гаусс решил провести грандиозный геометрический опыт: построить гигантский треугольник на местности, измерить сумму его углов и проверить, действительно ли она равна 180 градусам. Он наметил три горы – Броккен, Инзельберг и Высокий Гааген – их вершины как раз и образовывали треугольник, приготовил теодолиты, но провести эксперимент не успел. Знакомые, узнав о планах Гаусса, подняли его на смех. А молодой немецкий философ Евгений Дюринг, который на тот момент еще не успел вступить в свой исторический спор с Энгельсом, так прямо и написал в одной из своих статей: “Гаусс страдает “Paranoia geometrica” — геометрическим помешательством”.

Вена, 1822 год
В том самом 1822 году, когда Николай Иванович Лобачевский приступил к созданию новой геометрической системы, пятым постулатом Евклида заинтересовался двадцатилетний выпускник Венского военно-инженерного колледжа Янош Бойяи. Узнав об этом, отец Яноша известный венгерский математик Фаркаш Бойяи попытался предостеречь сына:

“Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни. Эта черная пропасть в состоянии, может быть, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон…” Из письма Фаркаша Бойяи сыну

Янош не послушался отца. И вскоре он пришел к тому же выводу, к которому пришли Гаусс и Лобачевский: пятый постулат недоказуем и независим от остальных, следовательно, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию, отличную от евклидовой.
В 1823 году, закончив трактат с описанием новой геометрии, Янош сообщил отцу:

“Я создал странный новый мир из ничего!” Из письма Яноша Бойяи отцу

Но Фаркаш Бойяи не торопился разделить восторг сына. Только спустя девять лет, в 1832 году, он опубликовал работу Яноша приложением к собственному большому труду “Tentamen” — опыт. В историю математики эта работа вошла под именем “Appendix” — приложение. А полное название сочинения Яноша Бойяи звучало так: “Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности Х1 аксиомы Евклида, что a priori никогда решено быть не может”.
В ряде версий “Начал” пятый постулат был в списке аксиом и имел там одиннадцатый номер.

По странному стечению обстоятельств работа Яноша Бойяи увидела свет в том же самом году, когда Лобачевский отправил свой мемуар в Академию наук. Реакция на обе работы была одинаковой. Российские математики не оценили открытие Лобачевского, европейские – не поняли труд Бойяи.
Только Гаусс оценил значение этой работы молодого венгра. Но промолчал. Хотя в одном из писем заметил:

“Этот юный геометр Бойяи – гений высшего класса”. Карл Фридрих Гаусс, из личной переписки

А Фаркашу Бойяи – своему давнему другу – признался:

“Оценить это — всё равно, что оценить себя. Потому что всё, что там написано, совпадает с моими собственными размышлениями последних 30-35 лет на эту тему”. Гаусс, из письма Фаркашу Бойяи

Янош Бойяи в это время еще находился в армии. Сразу после окончания колледжа он был отправлен в военно-инженерные войска, где и прослужил в чине младшего лейтенанта 11 лет. Известие о том, что Гаусс его опередил, настолько расстроило Яноша, что он заболел и был вынужден выйти в отставку по состоянию здоровья, не выслужив пенсии.

В 1840 году работа Лобачевского “Геометрические исследования по теории параллельных линий” была переведена на немецкий язык и опубликована за границей. Гаусс был в восторге от этой работы. Но как всегда публично не промолвил ни слова. Хотя и добился того, чтобы Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского ученого общества.

Янош Бойяи познакомился с трудом Лобачевского только в 1848 году. И пришел в ярость! Он решил, что Гаусс украл у него лучшие идеи и опубликовал их под псевдонимом Лобачевский.
С этого времени и до конца жизни Янош Бойяи пребывал в состоянии тяжелого душевного разлада. Он пытается продолжить развивать свои идеи, но бросает неевклидову геометрию. Начинает какие-то новые работы, но и их забрасывает на полдороге. После смерти Яноша Бойяи в его архиве было обнаружено более двадцати тысяч листов незаконченных математических рукописей.

Комментарий — доктор физико-математических наук Аркадий Скопенков: «Лобачевский, Гаусс и Бойяи высказали две важные идеи. Во-первых, логически мыслима не только евклидова, но и другие геометрии. Во-вторых, другие геометрии в принципе могут отражать строение реального пространства. К сожалению, в то время эти две разные идеи не были четко отделены друг от друга. Споры вокруг неевклидовой геометрии помогли математикам четко выделить две разные стороны своей науки. Первая сторона — изучение систем аксиом (она ближе к философии), а вторая – математическое изучение процессов реального мира (она ближе к физике)».

Из жизни математиков
Однажды некий юноша решил заняться изучением геометрии. Но прежде, чем приступить к учебе, он спросил у Евклида, какая выгода ему будет от этой науки. Евклид подозвал раба и сказал: “Дай юноше три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учебы”.

Берлин, 1854 год
Пока велись споры вокруг геометрии Лобачевского, другая неевклидова геометрия – сферическая — уже давно была общепризнана. Это геометрия
звездного неба или поверхности земного шара. Ввиду ее огромнейшего практического значения для астрономии и мореплавания никаких насмешек и борьбы за ее признание просто не было. В 1854 году профессором Берлинского университета Бернардом Риманом — учеником Гаусса — было открыто обобщение сферической геометрии.

Признание неевклидовой геометрии Лобачевского пришло со временем, во многом благодаря появлению математических моделей Клейна-Пуанкаре и работе итальянского математика Бельтрами.
Мемуар “Опыт толкования неевклидовой геометрии” Эудженио Бельтрами опубликовал в 1868 году. В этой работе он доказал, что на псевдосферических поверхностях евклидова пространства имеет место неевклидова геометрия.
Несколькими годами позже немецкий математик Феликс Клейн и французский математик, физик и философ Жюль Анри Пуанкаре, независимо друг от друга, предложили очень простую, но вместе с тем наглядную и убедительную иллюстрацию неевклидовой геометрии. Появление моделей Клейна и Пуанкаре доказало, что геометрия Лобачевского также непротиворечива, как и геометрия Евклида.

Сам Николай Иванович Лобачевский до этого признания не дожил. Он умер в 1856 году. Ему было всего лишь 64 года.
Последние годы жизни Лобачевского были очень тяжелыми. Его уволили с поста ректора из-за каких то липких министерских интриг, отобрали казенную квартиру, сократили жалованье. А еще он начал слепнуть. Свою последнюю работу — “Пангеометрию” — Лобачевский диктовал ученикам, сам писать уже не мог. Он успел опубликовать ее за год до смерти.

Комментарий — доктор физико-математических наук Аркадий Скопенков: «Во всем мире, кроме России, геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией. Но это ни в коей мере не умаляет заслуг великого русского математика. Переворот в геометрии, произведенный Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании. И недаром Николая Ивановича Лобачевского называют «Коперником геометрии». Николай Коперник в свое время разрушил казавшуюся незыблемой догму о неподвижной Земле. А Николай Лобачевский первым подверг сомнению наши обыденные представления о свойствах окружающего нас пространства».

Ссылка на видео: Режиссер Татьяна Малова, «Цивилизация», 2011 год

Научный консультант: доктор физико-математических наук Аркадий Скопенков

(В эфире фильм был под названием «Неевклидовы страсти»)